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M1

Zur Lösung nichtlinearer schlecht gestellter Parameteridentifikationsprobleme in Evolutionsgleichungen durch Anwendung von Einbettungsverfahren auf das Tikhonov-regularisierte Problem

Michael Ulbrich

Technische Universität München

Zentrum Mathematik

Lehrstuhl für Angewandte Mathematik und Mathematische Statistik

Juni 1996

Dissertation


Zusammenfassung:

Die Arbeit beschäftigt sich mit der Identifikation von Parametern in Evolutionsgleichungen anhand gegebener, meist fehlerbehafteter, Zustands-Beobachtungen. Als Prototyp einer solchen Aufgabe wird die Ermittlung von Reibungsparametern in der eindimensionalen Flachwassergleichung näher betrachtet. Da Probleme dieser Art in der Regel schlecht gestellt sind, ist eine Regularisierung erforderlich. Daher werden unter sehr allgemeinen Voraussetzungen Stabilität und Konvergenz Tikhonov-regularisierter Lösungen in Banachräumen analysiert. Untersuchungen von a priori und a posteriori Strategien zur Wahl des Regularisierungsparameters mit zugehöriger Fehlerabschätzung in Hilbert-Skalen schließen sich an. Die betrachtete Klasse von Regularisierungen umfaßt sowohl Regularisierung im Parameter- als auch im Zustandsraum. Zur Veranschaulichung wird die entwickelte Theorie auf ein Identifikationsproblem angewendet, dessen Zustandsgleichung durch ein semilinear-hyperbolisches System gegeben ist. Bei der numerischen Behandlung regularisierter Identifikationsprobleme ensteht durch Diskretisierung ein endlichdimensionales Kleinste-Quadrate-Problem. Versieht man die Zielfunktion auf geeignete Weise mit einem skalaren Parameter, so besteht unter schwachen Voraussetzung die Menge der stationären Punkte aus Kurven. Ist für einen Parameterwert ein lokales Minimum bekannt, so kann durch passende Wahl des Regularisierungsparameters sichergestellt werden, daß auf der zugehörigen Trajektorie ein stationärer Punkt der Zielfunktion liegt. Anhand des Kurvenverlaufs ist erkennbar, ob es sich dabei um ein lokales Minimum handelt. Gibt man nun in einem zweiten Schritt den Regularisierungsparameter frei, so kann durch Kurvenverfolgung eine a posteriori Parameterwahl realisiert werden. Es folgt ein Prädiktor-Korrektor-Verfahren zur Kurvenverfolgung mit Konvergenzbeweis. Numerische Ergebnisse bei Anwendung der Verfahren auf die Flachwassergleichung schließen die Arbeit ab.


Michael Ulbrich , 1996-07-18